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一本正經的聊數據結構(6):最優二叉樹 —— 哈夫曼樹_租車

Posted on 2021-07-072021-07-07 by admin

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前文傳送門:

「一本正經的聊數據結構(1):時間複雜度」

「一本正經的聊數據結構(2):數組與向量」

「一本正經的聊數據結構(3):棧和隊列」

「一本正經的聊數據結構(4):樹」

「一本正經的聊數據結構(5):二叉樹的存儲結構與遍歷」

基礎知識

感謝某位在後台留言的同學,讓我想起來我還有這個沒寫完的系列。

在最開始,先了解幾個基礎概念:

  • 路徑:在一棵樹中,一個結點到另一個結點之間的通路,稱為路徑。

上面這個二叉樹中,根節點 A 到恭弘=叶 恭弘子結點 I 的路徑,就是A,B,D,I。

  • 路徑長度:在一條路徑中,每經過一個結點,路徑長度都要加 1 。例如在一棵樹中,規定根結點所在層數為1層,那麼從根結點到第 i 層結點的路徑長度為 i – 1 。

在這個二叉樹中,根節點 A 到恭弘=叶 恭弘子結點 H 的路徑長度就是 3 。

  • 結點的權:給每一個結點賦予一個數值,被稱為這個結點的權。
  • 結點的帶權路徑長度:指的是從根結點到該結點之間的路徑長度與該結點的權的乘積。

我們假設節點 H 的權是 5 ,從根結點到結點 H 的路徑長度是 3 ,那麼結點 H 的帶權路徑長度是 3 X 5 = 15。

  • 樹的帶權路徑長度:在一棵樹中,所有恭弘=叶 恭弘子結點的帶權路徑長度之和,被稱為樹的帶權路徑長度,也被簡稱為 「WPL」 。

還是這顆樹,它的帶權路徑長度是 1 X 2 + 2 X 1 + 2 X 3 + 2 X 4 + 3 X 5 + 3 X 6 = 51 。

哈夫曼樹

哈弗曼樹就是在用 n 個結點(都做恭弘=叶 恭弘子結點且都有各自的權值)試圖構建一棵樹時,如果構建的這棵樹的帶權路徑長度最小,稱這棵樹為「最優二叉樹」,有時也叫「哈夫曼樹」或者「赫夫曼樹」。

在構建哈弗曼樹時,要使樹的帶權路徑長度最小,只需要遵循一個原則,那就是:權重越大的結點離樹根越近。

需要注意的是,同樣恭弘=叶 恭弘子結點所構成的哈夫曼樹可能不止一顆,在同一層,左右恭弘=叶 恭弘子節點交換位置,樹的帶權路徑長度是一樣的,就比如下面這兩個哈夫曼樹:

哈弗曼樹的構建過程

那麼如何構建一個哈夫曼樹呢?我們這裏舉個例子,比如我們有這麼幾個恭弘=叶 恭弘子節點:3,4,7,9,13,15,17:

第一步:選出兩個最小的權值,對應的兩個結點組成一個新的二叉樹,且新二叉樹的根結點的權值為左右孩子權值的和:

第二步:從隊列中移除上一步選擇的兩個最小結點,把新的父節點加入隊列,也就是從隊列中刪除 3 和 4 ,插入 7 ,並且仍然保持隊列的升序:

第三步:選擇當前權值最小的兩個結點,生成新的父結點。

這一步其實是在重複上一步操作,當前隊列中最小的節點是 7 和 7 ,生成新的父結點權值是 7 + 7 = 14 :

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第四步:從隊列中移除上一步選擇的兩個最小結點,把新的父節點加入隊列。

這一步依然是在重複,從隊列中刪除 7 和 7 ,加入 14 ,並且仍然保持隊列的升序:

第五步:選擇當前權值最小的兩個結點,生成新的父結點。

這一步還是重複操作。當前隊列中權值最小的結點是 9 和 14 ,生成新的父結點權值是 9 + 14 = 23 :

第六步:從隊列中移除上一步選擇的兩個最小結點,把新的父節點加入隊列。

這一步依然是在重複,從隊列中刪除 9 和 14 ,加入 23 ,並且仍然保持隊列的升序:

第七步:選擇當前權值最小的兩個結點,生成新的父結點。

這一步從隊列中選擇權值最小的結點是 13 和 15 ,生成新的父結點權值是 13 + 15 = 28 :

第八步:從隊列中移除上一步選擇的兩個最小結點,把新的父節點加入隊列。

從隊列中刪除 13 和 15 ,加入 28 ,並且仍然保持隊列的升序:

第九步:選擇當前權值最小的兩個結點,生成新的父結點。

這一步從隊列中選擇權值最小的結點是 17 和 23 ,生成新的父結點權值是 17 + 23 = 40 :

第十步:從隊列中移除上一步選擇的兩個最小結點,把新的父節點加入隊列。

從隊列中刪除 17 和 23 ,加入 40 ,並且仍然保持隊列的升序:

第十一步:選擇當前權值最小的兩個結點,生成新的父結點,移除隊列中的最後兩個節點(懶得畫了,最後兩步並一步)。

這一步從隊列中選擇權值最小的結點是 28 和 40 ,生成新的父結點權值是 28 + 40 = 68 :

此時,我們得到的這棵樹就是哈弗曼樹。

哈夫曼樹就介紹到這裏,下一節,將會介紹哈夫曼樹的用途:哈夫曼編碼。

參考

http://c.biancheng.net/view/3398.html

https://baijiahao.baidu.com/s?id=1663514710675419737&wfr=spider&for=pc

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